Jest wychowankiem Agrykoli Warszawa. W styczniu 2005 poleciał z pierwszym zespołem Legii Warszawa na obóz przygotowawczy na Cypr^[1]. Następnie był wypożyczony do swojego macierzystego klubu, ale często trenował z Legią lub indywidualnie ze szkoleniowcem bramkarzy stołecznego klubu Krzysztofem Dowhaniem^[2].

Na początku sezonu 2006/2007 przeszedł do Arsenalu, w którym początkowo grał w drużynie rezerw. 24 września 2008 podpisał zawodowy kontrakt^[3]. 22 września 2009 zadebiutował w pierwszym składzie Arsenalu podczas meczu III rundy Pucharu Ligi z West Bromwich Albion na Emirates Stadium. Popisał się kilkoma dobrymi interwencjami i ostatecznie zachował czyste konto^[4].

17 listopada 2009 został na miesiąc wypożyczony do klubu angielskiej trzeciej ligi Brentford^[5]. W klubie tym zadebiutował 21 listopada w ligowym meczu z Walsall^[6]. Po rozegraniu sześciu meczów, 22 grudnia Brentford przedłużyło okres wypożyczenia Szczęsnego do 17 stycznia 2010 roku^[7], a następnie do końca sezonu^[8]. W Brentford rozegrał 28 meczów, po czym powrócił do Arsenalu^[9].

13 grudnia 2010 zadebiutował w Premier League w meczu z Manchesterem United i równocześnie stał się najmłodszym bramkarzem debiutującym w tych rozgrywkach w sezonie 2010/2011. Dzięki kontuzji Łukasza Fabiańskiego rozegrał swoje kolejne dwa spotkania w lidze. Dodając do tego styczniowe mecze w FA Cup i Carling Cup, rozegrał do końca stycznia aż 10 spotkań w sezonie 2010–2011.

28 stycznia 2011 Arsène Wenger stwierdził, że Szczęsny jest teraz nowym numerem jeden w Arsenalu^[10]. 16 lutego 2011 zadebiutował w rozgrywkach Champions League w meczu przeciwko Barcelonie^[11]. Przez okres 5 tygodni zmagał się z kontuzją. 17 listopada 2012 powrócił do gry w wygranych derbach północnego Londynu 5:2 z Tottenhamem. Na koszulce miał wtedy numer 1.

18 stycznia 2014 w meczu przeciwko Fulham zagrał po raz setny w Premier League. W sezonie 2013/2014 w 37 spotkaniach ligowych 16 razy zachował czyste konto, dzięki czemu otrzymał wraz z Petrem Čechem z Chelsea Złotą Rękawicę^[12].

W Arsenalu Szczęsny dwa razy z rzędu zdobył Puchar Anglii: w 2014 roku eliminując w finale po dogrywce 3:2 Hull City oraz w 2015, pokonując 4:0 Aston Villę. 10 sierpnia 2014 na stadionie Wembley zdobył z Arsenalem Tarczę Wspólnoty.

29 lipca 2015 Szczęsny został wypożyczony na rok do ówczesnego wicemistrza Włoch – AS Romy. W Serie A zadebiutował 22 sierpnia 2015 w zremisowanym 1:1 wyjazdowym meczu z Hellas Veroną, a jego interwencja z 56. minuty tego spotkania została przez dziennikarzy uznana interwencją kolejki^[13]. W sezonie 2015/16 Szczęsny wystąpił łącznie w 42 meczach Romy. 4 sierpnia 2016 wypożyczenie zostało przedłużone o kolejny sezon^[14].